मैक्सवेल बोल्ट्जमान सांख्यिकी यह सांख्यिकी उन कणों पर आरोपित की जाती है, जो एक दूसरे से विभेदित होते हैं। कण एक दूसरे से विभेदित होते हैं। प्रत्येक कोश में 0, 1, 2, … n i कण हो सकते हैं। निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, अर्थात् n = Σn i  = नियतांक विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है, E = Σn i ε i = नियतांक हम n स्वतंत्र कणों पर विचार करते हैं, जिन्हें एक दूसरे से पृथक किया जा सकता है। इन कणों को विभिन्न समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि ऊर्जा स्तर    ε 1,  ε 2,  ε 3, ... ε i  अपभ्रष्टता    g 1,  g 2,  g 3, ... g i  कणों की संख्या     n 1,  n 2,  n 3, ... n i  हम एक बक्से पर विचार करते हैं। इस बक्से में g i भाग हैं, जिसमें n i कणों को वितरित करना है। प्रथम स्तर में n 1 कणों को वितरित करने के तरीके                   ...

Postulates of classical statistical mechanics It is based on the following postulates Postulates of equal a priori probability According to this postulate the probability of finding the phase point for given system in any region of the Γ-space is identical with that for any other region of equal extension or volume. Or For a system in equilibrium, all accessible microstates corresponding to a given macro-state are equally probable. Thus in thermodynamic equilibrium the system under consideration is a member of an ensemble (micro-canonical ensemble) with a density function ρ (p, q) and the value of density function is given according to the following rule. If E < H (p, q) < E + ΔE, ρ (p, q) = constant, otherwise ρ (p, q) = 0 Thus all members of the ensemble have the same number of particles N and same volume V. Let f (p, q) represents any measurable property of the system. If the postulate of equal a priori probability is useful, then the average v...

Phase space and density function Phase space or 𝚪 space In classical mechanics the position of a point particles is described in terms of three Cartesian coordinates x, y, z. And the state of motion of particle is described in terms of velocity component ẋ, ẏ, ż or momentum coordinates p x , p y , p z . We imagine a 6-d space in which the six coordinates are x, y, z and p x , p y , p z are marked along six mutually perpendicular axes in space. The combined position and momentum space is known as phase space or Γ space . A point in the phase space represents the position and momentum of the particle at some particular instant. Density function Let a classical system has a large number of molecules (N) occupying a large volume V. Generally N = 10 23 molecules and V = 10 23 molecular volumes or N → ∞ and V → ∞ N/V = v ; here v = a specific volume, which is a finite number. The system will be regarded as isolated in the sense that the ener...

बोसॉन निकाय के रूप में द्रव हीलियम साधारण हीलियम में हीलियम के समस्थानिक 2 He 4 के लगभग सभी उदासीन परमाणु होते हैं। चूंकि इन परमाणुओं का कुल कोणीय संवेग शून्य होता है, इसलिए ये बोस-आइन्सटीन सांख्यिकी का पालन करते हैं। निम्न ताप पर हीलियम के गुणधर्म वायुमण्डलीय दाब पर He ↑,  4.3K ताप पर (क्रांतिक ताप = 5.2K) अत्यन्त कम घनत्व के द्रव (ρ = 0.124 g/cm 3 ) में परिवर्तित हो जाती है। इसे लगभग 0.82K ताप तक और अधिक ठण्डा करने पर भी यह जमती (freeze) नहीं है तथा परम शून्य ताप (absolute zero temperature) तक भी यह द्रव हीलियम की अवस्था में बनी रहती है। अतः ठोस हीलियम प्राप्त नहीं होती है, जब तक कि इसका बाह्य दाब कम से कम 23 वायुमण्डलीय नहीं कर दिया जाता है। द्रव हीलियम का प्रावस्था संक्रमण द्रव प्रावस्था में He 4 के लिए एक अन्य संक्रमण प्रावस्था (λ-संक्रमण) होती है, जो द्रव अवस्था को दो प्रावस्थाओं HeI तथा HeII में विभाजित करती है। जब हीलियम लगभग 2.2K ताप पर द्रवित होती है, तो इसका घनत्व अचानक अधिकतम हो जाता है, तत्पश्चात् कुछ घट जाता है। हीलियम...

Grand canonical ensemble Grand canonical ensemble Microcanonical ensemble is a collection of independent assemblies in which energy (E), volume (V), and number of particles (N) remain constant. Canonical ensemble is a collection of independent assemblies in which temperature (T), volume (V), and number of particles (N) remain constant. It mean a microcanonical ensemble ⟶ Canonical ensemble, if we ignore the condition E = constant. Therefore the energy exchange takes place in this ensemble. Actually in chemical process, the number of particles N varies and it is very difficult to keep the number of particles constant in various phenomenon like radioactive decay process. Thus grand canonical ensemble is an ensemble in which the exchange of energy as well as the number of particles takes place with the heat reservoir. The grand canonical ensemble is a collection of essentially independent assemblies having the same temperature T, volume V, and a chemical potential µ....

Liquid helium as a Boson system Ordinary helium consists almost entirely of neutral atom of the isotope 2 He 4 . Since the total angular momentum of these atom is zero, so it follow the Bose-Einstein statistics. Properties of helium at low temperature The helium gas at atmospheric pressure condenses at 4.3K temperature into a liquid helium having critical temperature 5.2K, and the density of this liquid helium is very low (ρ = 0.124 g/cm 3 ). On further cooling the helium to about 0.82K, it does not freeze, and the liquid helium remains into liquid state up to absolute zero temperature i.e., T = 0K. It means the helium does not solidified at atmospheric pressure. To get the solid state of helium, it is subjected to an external pressure of at least 23atm. Phase transition of liquid He For He 4 in liquid phase, there is another phase transition (λ-transition), which divides the liquid state into two phases HeI and HeII. While liquefying He at...

Maxwell Boltzmann Statistics It is applied to distinguishable particles. Particles are distinguishable from each other. Each cell may contain 0, 1, 2, … n i particles. Total number of particles of system remain constant, n = Σn i  = constant Sum of energies of all the particles in the different groups taken together i.e., total energy of the system remain constant E = Σn i ε i = constant Consider a system of n distinguishable particles. These particles be divided into groups or levels such that Energy levels    ε 1,  ε 2,  ε 3, ... ε i  Degeneracies    g 1,  g 2,  g 3, ... g i  Occupation number    n 1,  n 2,  n 3, ... n i  Consider a box, divide it into g i  sections, distribute n i  particles among them. Number of ways to distribute n 1 particles in first state are                     ...

फर्मी डिराक सांख्यिकी यह सांख्यिकी फर्मीऑन या फर्मी कणों पर आरोपित की जाती है, अर्थात् वे कण जो अविभेदित हों तथा जिनकी चक्रण क्वांटन संख्या अर्द्ध पूर्णांक हो। कण एक दूसरे से अविभेदित होते हैं। प्रत्येक कोश या उपस्तर में 0 या 1 कण हो सकता है, अर्थात्‌ g i,  >> n i निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, n = Σn i  = नियत विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है E = Σn i ε i  = नियत हम n स्वतंत्र समरूप कण, जिनका चक्रण अर्द्ध पूर्णांक है, पर विचार करते हैं। इन कणों को क्वांटम समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि ऊर्जा स्तर             ε 1,  ε 2,  ε 3, ... ε i  अपभ्रष्टता             g 1,  g 2,  g 3, ... g i  कणों की संख्या     n 1,  n 2,  n 3, ... n i  हम एक बक्से पर विचार करते है। इस बक्से में g i  भाग हैं, जिसमें n i  कणों ...

Fermi Dirac Statistics It is applied to Fermions or Fermi particles, i.e. indistinguishable particle with half integral spin. Particles are indistinguishable from each other. Each cell or sublevel may contain 0 or 1 particle i.e., g i,  >> n i Total number of particles of system remain constant, n = Σn i  = constant Sum of energies of all the particles in the different groups taken together i.e., total energy of the system remain constant E = Σn i ε i  = constant Consider a system of n independent identical particles having half integral spin. These particles be divided into quantum groups or levels such that Energy levels    ε 1,  ε 2,  ε 3, ... ε i  Degeneracies    g 1,  g 2,  g 3, ... g i  Occupation number    n 1,  n 2,  n 3, ... n i  Consider a box, divide it into g i  sections, distribute n i  particles among them. Number of ways to ...