मैक्सवेल बोल्ट्जमान सांख्यिकी यह सांख्यिकी उन कणों पर आरोपित की जाती है, जो एक दूसरे से विभेदित होते हैं। कण एक दूसरे से विभेदित होते हैं। प्रत्येक कोश में 0, 1, 2, … n i कण हो सकते हैं। निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, अर्थात् n = Σn i  = नियतांक विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है, E = Σn i ε i = नियतांक हम n स्वतंत्र कणों पर विचार करते हैं, जिन्हें एक दूसरे से पृथक किया जा सकता है। इन कणों को विभिन्न समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि ऊर्जा स्तर    ε 1,  ε 2,  ε 3, ... ε i  अपभ्रष्टता    g 1,  g 2,  g 3, ... g i  कणों की संख्या     n 1,  n 2,  n 3, ... n i  हम एक बक्से पर विचार करते हैं। इस बक्से में g i भाग हैं, जिसमें n i कणों को वितरित करना है। प्रथम स्तर में n 1 कणों को वितरित करने के तरीके                   ...

Postulates of classical statistical mechanics It is based on the following postulates Postulates of equal a priori probability According to this postulate the probability of finding the phase point for given system in any region of the Γ-space is identical with that for any other region of equal extension or volume. Or For a system in equilibrium, all accessible microstates corresponding to a given macro-state are equally probable. Thus in thermodynamic equilibrium the system under consideration is a member of an ensemble (micro-canonical ensemble) with a density function ρ (p, q) and the value of density function is given according to the following rule. If E < H (p, q) < E + ΔE, ρ (p, q) = constant, otherwise ρ (p, q) = 0 Thus all members of the ensemble have the same number of particles N and same volume V. Let f (p, q) represents any measurable property of the system. If the postulate of equal a priori probability is useful, then the average v...

Phase space and density function Phase space or 𝚪 space In classical mechanics the position of a point particles is described in terms of three Cartesian coordinates x, y, z. And the state of motion of particle is described in terms of velocity component ẋ, ẏ, ż or momentum coordinates p x , p y , p z . We imagine a 6-d space in which the six coordinates are x, y, z and p x , p y , p z are marked along six mutually perpendicular axes in space. The combined position and momentum space is known as phase space or Γ space . A point in the phase space represents the position and momentum of the particle at some particular instant. Density function Let a classical system has a large number of molecules (N) occupying a large volume V. Generally N = 10 23 molecules and V = 10 23 molecular volumes or N → ∞ and V → ∞ N/V = v ; here v = a specific volume, which is a finite number. The system will be regarded as isolated in the sense that the ener...

मोज़ले का नियम इस नियमानुसार एक्स किरण स्पेक्ट्रम में किसी स्पेक्ट्रमी रेखा की आवृत्ति (frequency), जिस तत्व से एक्स किरण उत्सर्जित होती है, उसके परमाणु क्रमांक (atomic number) के वर्ग के समानुपाती होती है। यदि एक्स किरण स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रमी रेखा की आवृत्ति (𝜈) तथा जिस तत्व से एक्स किरण उत्सर्जित होती है उसका परमाणु क्रमांक (Z) हो, तो 𝜈 = Z 2 ⇒ √𝜈 ∝ Z या √𝜈 = a (Z – b ) यहां (Z – b ) एक्स किरण उत्सर्जित करने वाले तत्व का प्रभावी परमाणु क्रमांक तथा b अभिलाक्षणिक नियतांक या आवरणांक है। मोज़ले नियम की उपयोगिता किसी तत्व के अभिलाक्षणिक गुण उसके परमाणु क्रमांक पर निर्भर करते हैं, द्रव्यमान पर नहीं। इसलिए आवर्त सारणी में कुछ तत्वों की स्थिति पुर्नव्यवस्थित की गई। आवर्त सारणी के कुछ नए तत्वों की खोज की गई। जैसे Hf (72), In (61), Re (75) आदि। बोहर सिद्धान्त के आधार पर मोज़ले नियम की व्याख्या n 1 तथा n 2 कोश में इलेक्ट्राॅन की ऊर्जा चूंकि धनात्मक नाभिक अन्य इलेक्ट्राॅनों द्वारा ढक दिया जाता है। इसलिए ह...

Moseley’s law According to it, the frequency of a spectral line in X-ray spectrum varies as the square of the atomic number of the element emitting it. If 𝜈 is the frequency of spectral line in X-ray spectra and Z is the atomic number of element, then 𝜈 = Z 2 ⇒ √𝜈 ∝ Z or √𝜈 = a (Z – b ) Here (Z – b ) is the effective atomic number of emitting element and b is the characteristic constant or screening constant. Importance of Moseley’s law The characteristic property of an element depends on their atomic number, not on their masses. So the position of some elements in periodic table was rearranged. On the basis of Moseley law some new elements of periodic table was discovered like Hf (72), In (61), Re (75) etc. Explanation of Moseley’s law on the basis of Bohr’s theory The energy of electron in n 1 and n 2 orbits are given by Since the positive nucleus is screened by rest of the electrons. Therefore we...

Invariance of Poisson bracket under canonical transformation Let u and v be two functions such that u = u (q i , p i , t) and v = v (q i , p i , t) Let a canonical transformation is from (q i , p i , t) → (Q i , P i , t) Here q = q (Q, P, t) and p = p (Q, P, t) Corresponding to it the transformation in u and v are u (q i , p i , t) → u′ (Q i , P i , t) and v (q i , p i , t) → v′ (Q i , P i , t) Now we have to prove that if (q, p, t) → (Q, P, t) is canonical then [u, v] p, q = [u′, v′] P, Q It means the Poisson bracket are invariant under a canonical transformation. Proof If F 1 and F 2 are generating function, then the transformation relation for the variables are F 2 = F 1 + PQ Thus the Poisson brackets are invariant under a canonical transformation . To know more about Invariance of Poisson bracket under canonical transformation  click on the link for English  and  click on the link for Hindi

Angular momentum Poisson brackets Angular momentum involving Poisson bracket If r is position vector, and p is linear momentum, then angular momentum L = r × p Thus the Poisson bracket between any pair of the components satisfy [L i , L j ] = ε ijk x j p k Proof To know more about Angular momentum Poisson bracket  click on the link for English  and  click on the link for Hindi

बोसॉन निकाय के रूप में द्रव हीलियम साधारण हीलियम में हीलियम के समस्थानिक 2 He 4 के लगभग सभी उदासीन परमाणु होते हैं। चूंकि इन परमाणुओं का कुल कोणीय संवेग शून्य होता है, इसलिए ये बोस-आइन्सटीन सांख्यिकी का पालन करते हैं। निम्न ताप पर हीलियम के गुणधर्म वायुमण्डलीय दाब पर He ↑,  4.3K ताप पर (क्रांतिक ताप = 5.2K) अत्यन्त कम घनत्व के द्रव (ρ = 0.124 g/cm 3 ) में परिवर्तित हो जाती है। इसे लगभग 0.82K ताप तक और अधिक ठण्डा करने पर भी यह जमती (freeze) नहीं है तथा परम शून्य ताप (absolute zero temperature) तक भी यह द्रव हीलियम की अवस्था में बनी रहती है। अतः ठोस हीलियम प्राप्त नहीं होती है, जब तक कि इसका बाह्य दाब कम से कम 23 वायुमण्डलीय नहीं कर दिया जाता है। द्रव हीलियम का प्रावस्था संक्रमण द्रव प्रावस्था में He 4 के लिए एक अन्य संक्रमण प्रावस्था (λ-संक्रमण) होती है, जो द्रव अवस्था को दो प्रावस्थाओं HeI तथा HeII में विभाजित करती है। जब हीलियम लगभग 2.2K ताप पर द्रवित होती है, तो इसका घनत्व अचानक अधिकतम हो जाता है, तत्पश्चात् कुछ घट जाता है। हीलियम...

Jacobi-Poisson theorem Poisson’s second theorem If u and v are any two constants of motion of any given system, then their Poisson bracket [ u , v ] are also a constant of motion. If u is a constants of motion, then [ u , H ] + ∂ u /∂t = 0 ⇒ [ u ,  H ] = - ∂ u /∂t. Given u and v are constant of motion               We have to prove [u, v] is also a constant of motion                     Proof By Jacobi identity This is mathematical form of  Jacobi-Poisson’s theorem or Poisson's second theorem . According to statement of Jacobi-Poisson theorem if  u and v are any two constants of motion of any given system, then their Poisson bracket [ u , v ] are also a constant of motion. To know about Jacobi-Poisson theorem of Poisson second theorem  click on the link for English  and  click on the link for Hindi...

Hamilton’s equation of motion in Poisson Bracket formulation Poisson’s theorem From Hamilton’s equation of motion If u is a constant of motion, then du/dt = 0              If u does not explicitly depend on time, then ∂u/∂t = 0              This is Poisson theorem in classical mechanics To know about Hamilton’s equation of motion in Poisson Bracekt formulation and Poisson theorem in classical mechanics click on the link for English  and  click on the link for Hindi

Elementary Poisson brackets The Poisson brackets constructed out of the canonical coordinates themselves (co-ordinate and momenta) are called elementary Poisson brackets. Properties of Poisson bracket (1)         [q i , q j ] = [p i , p j ] = 0   or [q i , q j ] = 0 Similarly [p i , p j ] = 0 Thus [q i , q j ] = [p i , p j ] = 0 (2)         [q i , p j ] = – [p j , q i ] = δ ij (3) (4) To know about Poisson bracket and its identities please  click on the link for English  and  click on the link for Hindi