सेबिन सूत्र | Sabine formula in Hindi | Oscillations and Waves

सेबिन सूत्र

अनुरणन काल

किसी ध्वनि स्रोत के बन्द कर देने के पश्चात् भी कुछ समय तक हमें ध्वनि की अनुभूति होती है, इसे अनुरणन कहते हैं।
ध्वनि स्रोत के बन्द करने के पश्चात् जितने समय तक हमें ध्वनि की अनुभूति होती है, वह समय अनुरणन काल कहलाता है।

मान्यताएं

हाॅल के सभी भागों में ऊर्जा का वितरण समान है।
हाॅल में ध्वनि तरंग का कोई व्यतिकरण नहीं होता है।
अवशोषण गुणांक का मान ध्वनि की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है।
वायु में ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है।

सूत्र की स्थापना

सभी दिशाओं में हॉल के भीतर औसत ऊर्जा घनत्व = u
प्रारम्भिक आयतन dV द्वारा ग्रहण ऊर्जा = u dV

अब हम समतल दीवार के पृष्ठ क्षेत्रफल के ds भाग पर विचार करते हैं।
माना ds के केन्द्र से r दूरी पर ds के अभिलम्ब θ दिशा में प्रारम्भिक आयतन dV है।
प्रारम्भिक आयतन dV पर पृष्ठ क्षेत्रफल ds द्वारा बनाया गया घन कोण dω = ds cos θ / r²
छायांकित प्रारम्भिक भाग का क्षेत्रफल = dr × r dθ
यदि सम्पूर्ण चित्र को अभिलम्ब के परितः 2π कोण से घुमा दिया जाए तो इस भाग द्वारा तय किया गया प्रारम्भिक आयतन

dV = प्रारम्भिक क्षेत्रफल × परिधीय पथ

= dr . rdθ × 2πr sin θ
= 2πr² sin θ dr dθ

dV आयतन में ध्वनि ऊर्जा

u dV = u × 2πr² sin θ dr dθ

इस ऊर्जा का ds क्षेत्रफल पर आपतित भाग

θ के सभी मानों के लिए दोनों अर्द्धगोलों के मध्य स्थित कोश के कारण ds द्वारा ग्रहण की गई ऊर्जा

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{udsdr}{4}\int_{0}^{\pi /2}sin2\theta d\theta =\frac{udsdr}{4}$

ds क्षेत्रफल द्वारा प्रति सेकण्ड ग्रहण की गई ऊर्जा

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{uds}{4}\int_{0}^{v}dr =\frac{uvds}{4}$

यहां v = वायु में ध्वनि का वेग।
यदि ds का अवशोषण गुणांक a हो, तो
ds क्षेत्रफल द्वारा प्रति सेकण्ड ग्रहण की गई ऊर्जा

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=a\times \frac{uvds}{4}$

हॉल द्वारा प्रति सेकण्ड अवशोषित कुल ऊर्जा

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sum a\times \frac{uvds}{4}= \frac{uv}{4}\sum a\times ds$

आवरण के भीतर स्थित सभी सतहों का कुल अवशोषण, A = Σ a ds
हॉल द्वारा प्रति सेकण्ड अवशोषित कुल ऊर्जा = uvA/4
चूंकि V आवरण का आयतन है, इसलिए
किसी समय कमरे में कुल ध्वनि ऊर्जा = uV
इस ऊर्जा वृद्धि की दर

$https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{1}=\frac{d}{dt}(uV)=V\frac{du}{dt}$

ऊर्जा अवशोषण की दर

$https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{2}=\frac{1}{4}(uvA)$

स्रोत द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा की दर = E

ध्वनि में वृद्धि

जब स्रोत से ध्वनि प्रारम्भ होती है, तो t = 0, u = 0

जब t = ∞ हो, तो u = u_max ⇒ u_max = 4E / vA
u = u_max [1 - exp (-βt)]

ध्वनि का क्षय

जब ध्वनि स्रोत को बन्द कर दिया जाता है, तो t = 0, u = u_max, E = 0

अनुरणन काल (T)

u = u_max [1 - exp (-βt)]
यदि t = T, u = 10^-6 u_max

परन्तु v = 340 m/s

$https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{0.162V}{A} second$

उपरोक्त सूत्र सेबिन सूत्र कहलाता है।

सेबिन सूत्र की अधिक जानकारी के लिए इस लिंक पर क्लिक करें https://youtu.be/_hCdZV7R5R8

Comments