Differential equations in Hindi | अवकल समीकरण | Mathematics | BSc

अवकल समीकरण (Differential equations)

साधारण अवकल समीकरण तथा आंशिक अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equation and Partial Differential Equation)

लेखक: डॉ. विमल सारस्वत, डॉ. अनिल कुमार मेनारिया, डॉ. गजेन्द्रपाल सिंह राठौड़

ISBN : 978-81-7906-969-1

Price: Rs. 385.00

प्रकाशक: हिमांशु पब्लिकेशन्स, हिरण मगरी उदयपुर; हिमांशु पब्लिकेशन् प्रकाश हाउस, अंसारी रोड, नई दिल्ली

E-mail : info@sacademy.co.in

Phone: +91 9664392614

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This book includes the following topics 

यथार्थ एवं विशिष्ट रूप वाली अवकल समीकरण (Exact Differential Equations and Equations of Special Forms)

• परिचय (Introduction)
• nवीं कोटि के यथार्थ रैखिक अवकल समीकरण (Exact linear differential equation of nth order)
• nवीं कोटि के रैखिक अवकल समीकरण की यथार्थता का प्रतिबन्ध (Condition of exactness of a linear differential equation of order n)
• समाकलन गुणांक
• अरैखिक अवकल समीकरण की यथार्थता (Exactness of non-linear differential equations)
• विशिष्ट रूप वाले समीकरण (Equations of special form)
• समीकरण जिनमें y सीधा विद्यमान नहीं है (Equations that do not contain y directly)
• समीकरण जिनमें x सीधा विद्यमान नहीं है (Equations that do not contain x directly)

युगपत् रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations)

• परिचय (Introduction)
• अचर गुणांक वाले युगपत् अवकल समीकरण को हल करने की विधियाँ (Method of solving simultaneous linear differential equations with constant coefficients)
• प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत् समीकरण (Simultaneous equations of the first order and first degree)
• dx/P = dy/Q = dz/R का ज्यामितीय (Geometrical meaning of dx/P = dy/Q = dz/R)
• dx/P = dy/Q = dz/R को हल करने की विधियाँ (Methods of solution of dx/P = dy/Q = dz/R)

सम्पूर्ण अवकल समीकरण (Total Differential Equations)

• सम्पूर्ण अवकल समीकरण (Total differential equations)
• समीकरण Pdx + Qdy + Rdz = 0 की समाकलनीयता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त (Necessary and sufficient conditions for integrability of total differential equation Pdx + Qdy + Rdz = 0)
• Pdx + Qdy + Rdz = 0 की यथार्थता की शर्त (The conditions for exactness of Pdx + Qdy + Rdz = 0)
• Pdx + Qdy + Rdz = 0 को हल करने की विधियाँ (Methods of solving Pdx + Qdy + Rdz = 0)
• निरीक्षण विधि (Method of inspection)
• समघात समीकरणों के लिए विधि (Method for homogeneous equations)
• सहायक समीकरण विधि (Method of auxiliary equations)
• व्यापक विधि द्वारा हल (Solution by general method)
• Pdx + Qdy + Rdz = 0 का हल, यदि यह यथार्थ तथा n ≠ -1 की समघात समीकरण हो (Solution of Pdx + Qdy + Rdz = 0, if it is exact and homogeneous of degree n ≠ –1)
• Pdx + Qdy + Rdz = 0 का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical meaning of Pdx + Qdy + Rdz = 0)

द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order)

• परिचय (Introduction)
• द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of solution of linear differential equation of second order)
जब पूरक फलन में विद्यमान एक समाकल ज्ञात हो (When one integral of complementary function is known) प्रथम अवकलज को हटाकर सामान्य रूप में समानयन कर द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल (Solution of second order linear differential equation by reduction to normal form on removing the first derivative) स्वतन्त्र चर को बदलकर समीकरण का परिवर्तन (Transformation of the equation by changing the independent variable) प्राचल विचरण विधि (Method of variation of parameters) संक्रियात्मक गुणनखण्ड विधि (Operational factors method) अनिर्धारित गुणांक विधि (Method of undetermined coefficients)

प्रथम कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear Partial Differential Equation of First Order)

• परिचय (Introduction)
• आंशिक अवकल समीकरण (Partial differential equation)
• आंशिक अवकल समीकरण की कोटि तथा घात (Order and degree of partial differential equation)
• प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण (Partial differential equation of first order)
• प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण का वर्गीकरण (Classification of PDEs of first order)
रैखिक समीकरण (Linear equation) अर्द्ध-रैखिक समीकरण (Semi-linear equation) कल्प रैखिक समीकरण (Quasi linear equation) अरैखिक समीकरण (Non-linear equation)
• आंशिक अवकल समीकरण का निर्धारण (Formation of partial differential equation)
स्वैच्छ अचरों के विलोपन द्वारा (By eliminating arbitrary constants) स्वैच्छ फलनों के विलोपन द्वारा (By eliminating arbitrary function)
• प्रथम कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की लाग्रांज विधि (Lagrange's method to solve linear partial differential equations of first order)
• दिए गए वक्र से गुजरने वाले समाकल पृष्ठ (Integral surfaces passing through a given curve)
• Pp + Qq = R की ज्यामितीय व्याख्या (Geometrical interpretation of Pp + Qq = R)

प्रथम कोटि के अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Non-linear Partial Differential Equation of First Order))

• परिचय (Introduction)
• प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण के हल अथवा समाकल के प्रकार (Types of solution or integral of partial differential equation of first order)
मानक रूप-I (Standard from-I) मानक रूप-II (Standard form-II) मानक रूप-III ;k DysjksV :i (Standard form-III or Clairaut form) मानक रूप-IV (Standard form-IV)
• चारपिट विधि या प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की व्यापक विधि (Charpit's method or general method to solve partial differential equations of first order)

अचर गुणांकों वाले रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Non-linear Partial Differential Equation of First Order)

• परिचय (Introduction)
• अचर गुणांकों वाले रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear partial differential equations with constant coefficient)
• अचर गुणांकों वाले समघात तथा असमघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Homogeneous and non-homogeneous partial differential equations with constant coefficients)
• अचर गुणांकों वाले रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का हल (General solution of linear partial differential equations with constant coefficients)
• समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का पूरक फलन ज्ञात करना (To find the complementary function of homogeneous linear partial differential equation)
• विशिष्ट समाकल ज्ञात करना, जब f (x, y) = x^myⁿ (To find the particular integral, when f (x, y) = x^myⁿ)
• विशिष्ट समाकलन ज्ञात करना, जब f (x, y) =  (ax + by) (To find particular integral, when f (x, y) =  (ax + by))
• विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की व्यापक विधि (General method to find particular integral)
• अचर गुणांकों वाले असमघात आंशिक अवकल समीकरण (Non-homogeneous partial differential equations with constant coefficients)
• पूरक फलन ज्ञात करना, जब F (D, D') को रैखिक खण्डों में विभाजित किया जा सकता हो (To find the complementary function, when F (D, D') can be resolved into linear factors)
• असमघात समीकरणों के लिए विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to find the particular integral of non-homogeneous equations)
• पूरक फलन ज्ञात करना, जब F (D, D') को रैखिक खण्डों में विभाजित नहीं किया जा सकता है (To find the complementary function, when F (D, D') can not be resolved into linear factor)
• अचर गुणांकों वाले रैखिक आंशिक अवकल समीकरण में समानित होने वाले समीकरण (Equations reducible to linear partial differential equation with constant coefficient)

चर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि के आंशिक अवकल समीकरण (Second Order Partial Differential Equation with Variable Coefficient)

• परिचय (Introduction)
• मोंगे विधि (Monge's method)
• Rr + Ss + Tt = V के समाकलन के लिए मोंगे विधि (Monge's method to integrate Rr + Ss + Tt = V)
• Rr + Ss + Tt + U(rt – s2) = V के समाकलन के लिए मोंगे विधि(Monge's method to integrate Rr + Ss + Tt + U(rt – s2) = V)

साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations)

• परिचय (Introduction)
• प्रारम्भिक मान समस्या (Initial value problem)
• परिसीमा मान समस्या (Boundary value problem)
• पिकार्ड विधि (Picard's method)
• युगपत् अवकल समीकरण को हल करने की पिकार्ड विधि (Picard's method to solve simultaneous differential equations)
• आयलर विधि (Euler's method)
• संशोधित आयलर विधि (Modified Euler's method)

लाप्लास रूपान्तर (Laplace Transform)

• समाकल रूपान्तर (Integral transform)
• लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform)
• कुछ मानक प्रारम्भिक फलनों के लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform of some standard elementary functions)
• मानक प्रारम्भिक फलनों के लाप्लास रूपान्तर की सारणी (Table of Laplace transform of standard elementary functions)
• लाप्लास रूपान्तर के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म (Some important properties of Laplace transform)
रैखिकता गुणधर्म (Linearity property) प्रथम स्थानान्तरण या अनुवाद गुणधर्म (First shifting or translation property) द्वितीय स्थानान्तरण या अनुवाद गुणधर्म (Second shifting or translation property) माप परिवर्तन गुणधर्म (Change of scale property)
• अवकलजों के लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform of derivatives)
• समाकलों के लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform of integrals)
• x की धन पूर्णांक घातों का गुणन (Multiplication of positive integral powers of x)
• x द्वारा विभाजन (Division by x)
• प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर (Inverse Laplace transform)
• शून्य फलन (Null function)
• प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर की अद्वितीयता (Uniqueness of inverse Laplace transform)
• कुछ महत्वपूर्ण फलनों के प्रतिलोमी लाप्लास रूपान्तरणों की सारणी (Table of inverse Laplace transform of some important functions)
• प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म (Some important properties of inverse Laplace transform)
रैखिकता गुणधर्म (Linearity property) प्रथम स्थानान्तरण या अनुवाद गुणधर्म (First shifting or translation property) द्वितीय स्थानान्तरण या अनुवाद गुणधर्म (Second shifting or translation property) माप परिवर्तन गुणधर्म (Change of scale property)
• अवकलजों के प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर (Inverse Laplace transform of derivatives)
• समाकलों के प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर (Inverse Laplace transform of integrals)
• p की घात से गुणन तथा विभाजन (Multiplication and division by power of p)
• लाप्लास रूपान्तर का अवकल समीकरण में अनुप्रयोग (Application of Laplace transform to differential equations)
• अचर गुणांक वाले साधारण अवकल समीकरणों के हल (Solution of ordinary differential equations with constant coefficients)

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